BBTE-s matematikus közreműködésével születhetett áttörés a metrikus geometria területén[*]

A BBTE Közgazdaság és Gazdálkodástudományi Kara sepsiszentgyörgyi kihelyezett tagozatának matematikus professzora, Kristály Sándor is közreműködött annak a tanulmánynak az elkészítésében, mely a John Lott, Karl-Theodor Sturm, valamint a Fields-díjas Cédric Villani nevével fémjelzett, a metrikus geometria területén mérföldkőnek számító elmélet érvényességével kapcsolatos kérdéseket helyezi új kontextusba.

A vizsgált probléma gyökerei a matematikus körökben Dido-feladatként elhíresült klasszikus izoperimetrikus fejtörőig nyúlnak vissza. Dido nagybátyjához, Acerbászhoz ment feleségül, akit vagyona miatt meggyilkoltak. Az özvegy Ciprusra menekült, majd tovább hajózott Afrika Szicíliához közeli partjaira, ahol azzal a kéréssel kereste fel a vidék uralkodóját, hogy vásárolna egy akkora földdarabot, amekkora egy marhabőrrel körülkeríthető. Az uralkodó beleegyezett, és nagylelkűen meg is ajándékozta Didót egy jókora marhabőrrel. Dido keskeny csíkokra szabdalta az állatbőrt, a csíkokat összecsomózta, így olyan hosszú kötélhez jutott, amellyel jóval nagyob földterületet lehetett elkeríteni, mint amekkorát az uralkodó elképzelt. Így alapította meg Karthágó városát. A metrikus geometria nyelvén a feladat a következőképpen fogalmazható meg: adott kerületű síkidomok közül melyiknek legnagyobb a területe? Azaz, keressük meg azt a legnagyobb területet, melyet bezár egy adott hosszúságú zárt görbe! A Dido-feladat a Brunn–Minkowski-egyenlőtlenség következményeként értelmezhető, eredetileg ennek az egyenlőtlenségnek egy nem eukleideszi igazolására tett kísérlet szolgált a tanulmány kiindulópontjául.

Bolyai János, Nikolai Lobachevsky és Carl Fridrich Gauss úttörő munkája nyomán a tizenkilencedik században világossá vált, hogy a görbület kiemelt szerepet játszik bizonyos geometriai problémák esetében. Bernhard Riemann ugyanebben a században állapította meg a görbület-tenzor tulajdonságait, amelyekre Albert Einsteinnek is elengedhetetlen szüksége volt a relativitáselmélet kidolgozásában.

Az 1940-es években Herbert Busemann és Aleksandr Danilovich Aleksandrov egymástól függetlenül kezdeményezték a szintetikus geometria, azaz egy olyan mértan kidolgozását, amely a különböző alakzatok elsősorban projektív tulajdonságait az analitikus geometria segédeszközei (koordináták, differenciál-struktúrák) nélkül vizsgálja. Ennek a paradigmának az egyik leágazása a metrikus geometria, amely a tér metrikáját leíró összefüggések igazolására helyezi a hangsúlyt.

Közel egy évtizede John Lott, Karl-Theodor Sturm, valamint Cédric Villani azzal értek el jelentős áttörést a szintetikus geometria területén, hogy bevezették az entrópia-egyenlőtlenségre alapozott görbületdimenzió-feltételt, amelyben az adott geometriai struktúra mély görbületi információkat takar. A Lott–Sturm–Villani-elmélet az általunk tapasztalt világot olyan egyenlőtlenségek – például a Brunn–Minkowski, a Borell–Brascamp–Lieb vagy a Bishop–Gromov – segítségével jeleníti meg, amelyek szoros kapcsolatban állnak az izoperimetrikus egyenlőtlenségekkel. Hátterében olyan Riemann-térmodellek húzódnak, amelyeknek a görbülete állandó (ld. gömb, eukleidészi tér vagy hiperbolikus tér). 2010-ben Villanit Fields-díjjal tüntették ki eredményeiért, az elismerés – az Abel-díj mellett – egyfajta matematikai Nobel-díjnak minősül, amely a negyvenedik életévüket még be nem töltött szakembereknek ítélhető oda.

2009-ben Nicolas Juillet hívta fel a figyelmet arra, hogy az elmélet nem működik például a szubriemanni sokaságok legegyszerűbb struktúrái, a Heisenberg-csoportok esetében. Ezeket a struktúrákat többek közt a repülőgépek pályáinak vagy a gépkocsik mozgásának a modellezésében szokták használni. Juillet cáfolata nyomán szakmai körökben elfogadottá vált az a nézet, miszerint, szubriemanni szintről szemlélve a problémát, nincs esély arra, hogy a geometriai alapegyenlőtlenségeket olyan általánosan tárgyaljuk, ahogyan azt a Lott–Sturm–Villani-elmélet tette.

Balogh Zoltánnak, Kristály Sándornak és Sipos Kingának többéves kutatás nyomán sikerült bizonyítania, hogy a Lott, Sturm, illetve Villani nevével fémjelzett elmélet állításaival analóg megállapítások igazolhatók a Heisenberg-csoportok esetében is, ehhez azonban egy, a Villaniékéval párhuzamos geometriai kontextusra van szükség. Az optimális anyagszállítás elméletével, valamint a Heisenberg-csoportok egzakt riemanni approximációjával kimutatták, hogy létezik a problémának egy úgynevezett szubriemanni tárgyalása, amellyel teljes mértékben leírható a szubriemanni világ geometriája.

A Calculus of Variations and Partial Differential Equations című szaklapban közölt eredményt Cédric Villani is méltatta, előrebocsátva, hogy ez az eredmény lehet a hiányzó láncszem a riemanni, a finsleri, valamint a szubriemanni geometriai egyenlőtlenségek egységesítésében.

*Zoltán M. BALOGH, Alexandru KRISTÁLY, Kinga SIPOS (2018): Geometric inequalities on Heisenberg groups. Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 57/61.

A képen a Fields-díjas Cédric Villani látható. Forrás: http://synestheorie.fr/2014/11/26/musique-mathematiques-france-musique/

A tanulmányismertetőt Serestély Zalán szerkesztette.